himpunan

Himpunan

Definisi :

Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari obyek-obyek sebarang, yang berdasarkan sifat / aturan tertentu.

Contoh :

1.      Himpunan yang terdiri dari mahasiswa-mahasiswa Jakarta

2.      Himpunan dari merk-merk motor buatan China

3.      Himpunan dari bintang-bintang sinetron Indonesia

4.      Dsb

Notasi  Himpunan

            Himpunan dalam Matematika  di notasikan dengan huruf besar ; misalnya A ,B , M ,dsb

Notasi Anggota

Obyek-obyek yang membentuk himpunan disebut dengan anggota himpunan atau elemen dan biasanya di notasikan dengan huruf kecil; misalkan a,b,d,p , dsb  

Notasi Yang menyatakan anggota/elemen

Untuk menyatakan bahwa suatu obyek merupakan elemen dari dari suatu himpunan maka di  notasikan dengan Î ,   dan jika bukan elemen dari suatu himpunan di notasikan dengan Ï.

Bentuk penulisan himpunan

            Ada 2  (dua) bentuk /cara penulisan himpunan, yaitu :

1.      Bentuk pendaftaran (Tabular Form) yaitu  dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal.

Sebagai contoh :

¨      Himpunan A = {Jakarta,Bandung,Bogor, Cirebon}

¨      Himpunan N = {2, 4, 6, 8, …….}

¨      Himpunan P =  {Kambing,  Kuda, Kerbau, Sapi }

2.      Bentuk Pencirian ( Set Builder Form) yaitu dengan  menuliskan sifat/aturan/ ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut.

Sebagai contoh :

¨      S = {x çx adalah bilangan ganjil}

( dibaca : Himpunan S merupakan himpunan dari x  , dimana x adalah bilangan ganjil)

¨    T = { x çx adalah mahasiswa yang berkaca mata}

¨    B= {p çp adalah hewan berkuku genap}

Soal :

1.      Ubahlah cara penulisan himpunan-himpunan dibawah ini menjadi bentuk daftar

(Perhatikan ! Ada yang tidak bisa di ubah karena penciriannya tidak jelas )

1. A=(x | x bilangan ganjil antara antara 5 dan 19}
2. B={p | p=n-2 , n adalah bilangan asli yang lebih kecil dari 10 }
3. C={m | m nama-nama mahasiswa/i kelas ini yang berkacamata}
4.  D={m | m nama-nama mahasiswi kelas ini yang cantik}

2.      Ubahlah cara penulisan himpunan-himpunan dibawah ini menjadi bentuk pencirian

1. A = {2,4,6,8,10}
2. B = {3,5,7,9,13}
3. C = {1/2, 2/3 , 3/4 , 4/5 ,  …………… }
4. D = (-1,1,-2,2,-3,3,-4,4, ………..)

Ø  Himpunan berhingga

Suatu himpunan disebut berhingga jika banyak anggotanya (yang berbeda) berhingga banyaknya.

Contoh : A={a,b,c,d,e}

Ø  Himpunan tak berhingga

bilangan Suatu himpunan disebut tak berhingga jika banyak anggotanya (yang berbeda) tak berhingga banyaknya.
Contoh : A={x | x adalah riil }

Ø  Himpunan kosong (Hampa)

Suatu himpunan disebut himpunan kosong jika himpunan tersebut tidak mempunyai anggota.

Notasi : Æ

Contoh : A={x | x² = 9 , x genap }

Ø  Himpunan Bagian (Subset)

Suatu himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B bila setiap anggota dari A juga menjadi

anggota dari B.

Notasi  subset : Ì                             

notasi bukan subset : Ë

Contoh : A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5,6,7,8}

Karena setiap anggota dari A , juga merupakan anggota dari B maka dikatakan AÌ B

Ø  Kesamaan Himpunan

Himp. A dikatakan sama dengan himp.B (A=B) jika dan hanya jika  AÌ B dan BÌ A .

Ø  Comparable Set

Dua himpunan dapat diperbandingkan ( Comparable) bila  AÌ B atau BÌ A
Contoh : A={1,2,3,4} , B={1,2} maka A Comparable B karena BÌ A
               S = {2,3,4} , T = {2,4,6,8,10} maka S tidak comparable T karena S Ë T dan T Ë S         

Ø  Keluarga Himpunan (Family Set )

Suatu himpunan yang elemennya/anggotanya juga berupa himpunan

Contoh : A={ {1,2} , {3} , {1,2,3,4}, {4} } maka A disebut keluarga himpunan

       S = { {2,3} ,4 , (5,6,7} } ,  maka S bukan suatu keluarga himpunan karena ada anggotanya                  yang bukan himpunan.         

Ø  Himpunan Kuasa (Power set)

Suatu himpunan disebut himpunan kuasa (power set) dari suatu himpunan (S) apabila anggotanya

adalah semua himpunan bagian dari himpunan tersebut (S). Notasi  : 2^S  dan jumlah anggotanya 2ⁿ

dimana n adalah jumlah anggota S termasuk Æ, karena Æ merupakan subset dari himpunan

manapun.

Contoh : A={1,2,3} ,  subset-subset dari A adalah  Æ, {1},{2},{3},(1,2},{1,3},{2,3} dan {1,2,3}, jadi 2^A ={Æ, {1},{2},{3},(1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} , banyaknya anggota 2³ =8           

Ø  Saling Asing

Dua himpunan di sebut saling asing / saling lepas / Disjoint apabila tidak ada elemen yang menjadi anggota kedua himpunan tersebut.

Contoh :   S = {2,3,4} , T = {8,10} maka S saling asing dengan T          

                 A={1,2} , B={1,3,5} maka A tidak saling asing dengan B karena 1e A dan 1e B

Diagram Venn

           

Untuk mempermudah melihat hubungan antara himpunan yang satu dengan lainnya digunakan sebuah gambar diagram yang dikenal dengan nama diagram Venn , bentuk gambar diagramnya boleh apa saja, tetapi biasanya untuk menggambarkan himpunan semesta (universal) digambarkan dengan empat persegi panjang dan untuk himpunan digambar dengan bentuk lingkaran/ellips .

Operasi Antar Himpunan

1.      Gabungan ( Union)

Notasi : È

AÈB = { x | x e A atau x e B }

Contoh :  S= {a,b,c} , T={a,b,i,s} maka SÈT={a,b,c,i,s}

Catatan :

Pada operasi gabungan berlaku :

i.     AÈB=BÈA

ii.   AÌ{ AÈB }    ;    BÌ { AÈB }

iii. Bila AÌB maka AÈB = B

iv. AÈf = A    ;      AÈU = U

2.      Irisan ( Intersection)

Notasi : Ç

AÇB = { x | x e A dan x e B }

Contoh :  S= {a,b,c} , T={a,b,i,s} maka SÇT={a,b}

Catatan :

Pada operasi Irisan berlaku :

i.        AÇB=BÇA

ii.      { AÇB }Ì A    ;    { AÇB }Ì B

iii.    Bila AÌB maka AÇB = A

iv.    AÇf = f    ;      AÇU = A

3.      Selisih ( Difference)

Notasi : -

A-B = { x | x e A dan x Ï B }

 Contoh :  S= {a,b,c} , T={a,b,i,s} maka S -T={c}dan T-S={i,s,c)

Catatan :

Pada operasi Selisih berlaku :

i.        A-B Ì A

ii.      { A-B }¹B-A    , bila A ¹ B

iii.    Bila AÌB maka A-B = f

4.      Komplemen (Complement) dari A

Notasi : A^C  , A^/  , Ā

A^C   = { x | x Ï A dan x e U }

 Contoh :  S= {a,i} , U={x ½x semua huruf hidup} maka S^C ={u,e,o}

Catatan :

Pada operasi Selisih berlaku :

i.        AÇA^C  = f

ii.       AÈ A^C = U

iii.    U^C = f ,     f^C  = U

iv.    (A^C)^C = A 

v.      A-B = AÇ B^C

vi.    Bila A Ì B maka  B^C Ì A^C

5.      Selisih simetri ( Symetric difference)

Notasi : D

A D B = { x | x e A atau x e B , x Ï AÇB}

           =  (A ÈB) – (AÇB)

           =  (A-B) È (B-A)

Contoh :  S= {a,b,c} , T={a,b,i,s} maka S DT={c,i,s}